夏希羽1982年版《初等代數(shù)數(shù)論入門(mén)》中文版前言

　　代數(shù)數(shù)論由初等數(shù)論起源，經(jīng)歐拉、高斯、費(fèi)迪南·艾森斯坦和希爾伯特的努力成為一個(gè)數(shù)論分支，最終在本世紀(jì)得到全面的發(fā)展。

　　1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)（巴黎）上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)于其中4個(gè)代數(shù)數(shù)論問(wèn)題的研究在很大程度上促進(jìn)了20世紀(jì)代數(shù)數(shù)論的進(jìn)步。

　　這個(gè)時(shí)期，代數(shù)數(shù)論研究出現(xiàn)了許多新思想和新方法（就我所知的包括賦值和局部域理論、局部-整體原則、padic分析、幾何和解析方法的引進(jìn)等），與代數(shù)幾何、復(fù)分析、近世代數(shù)等結(jié)合在一起，產(chǎn)生了一系列重要的研究領(lǐng)域【類(lèi)域論、模形式理論、代數(shù)曲線(xiàn)（特別是橢圓曲線(xiàn)）的算術(shù)理論、分圓域近代理論等】。

　　1973年，德林（P.Deligne）證明了高維韋依猜想，推動(dòng)了算術(shù)幾何的發(fā)展，這項(xiàng)工作使他獲得了1978年的菲爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)，即數(shù)學(xué)界的菲爾茲獎(jiǎng)，該獎(jiǎng)項(xiàng)有年齡【頒獎(jiǎng)當(dāng)年必須在40周歲以下】和同屆獲獎(jiǎng)人數(shù)【一般不超過(guò)四人】的特殊限制）。

　　在此之后，我有幸獨(dú)自于1980年下半年的短短數(shù)月期間，證明了具有超過(guò)三個(gè)世紀(jì)歷史的費(fèi)馬猜想。但我必須說(shuō)明的是，這是借助于現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論諸多方面的最新成就。

　　有關(guān)的三篇論文的中文版將會(huì)以附錄的形式出現(xiàn)在本書(shū)的末尾（見(jiàn)本書(shū)的附錄2、附錄3、附錄4），以便使用現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)漢語(yǔ)的普通讀者更好地了解我所做的工作。

　　代數(shù)數(shù)論在20世紀(jì)后期不僅取得豐富的理論成果，而且在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息工程領(lǐng)域得到重要應(yīng)用。中國(guó)代數(shù)數(shù)論發(fā)展受?chē)?guó)內(nèi)政治影響一直沒(méi)能成氣候。華羅庚先生早年曾布局讓陸洪文先生、裴定一先生、馮克勤先生等專(zhuān)家學(xué)者投入到這一領(lǐng)域的研究中，最終才有幸獲得了一個(gè)現(xiàn)已被公認(rèn)為菲爾茲獎(jiǎng)級(jí)別的成果。雖然暫不確定，但截至我寫(xiě)下這段前言時(shí)，該成果的水平已在國(guó)際數(shù)學(xué)界得到了廣泛的高度認(rèn)可，因此，于我而言，我“顯然”可以得到一個(gè)有趣的結(jié)論：即使我因?yàn)楦鞣N原因沒(méi)有得到菲爾茲獎(jiǎng)，也至少可以證明這絕不是費(fèi)馬猜想或者是我個(gè)人的問(wèn)題。

　　此外，代數(shù)數(shù)論近年不僅在數(shù)學(xué)各分支體現(xiàn)著綜合，而且在理論物理中也有著人們意想不到的奇妙聯(lián)系。如：馬克斯·普朗克遵循許多前輩物理學(xué)家的理論和實(shí)驗(yàn)工作經(jīng)驗(yàn)，歷經(jīng)數(shù)年的深入研究之后，于1900年寫(xiě)出了他的有關(guān)黑體輻射的能量分布公式，這標(biāo)志著量子理論的起始。但似乎沒(méi)有人注意到，普朗克公式在低頻率（或者高溫度）的延拓可以得出伯努利數(shù)——雅各·伯努利（1654～1705）在概率理論中引進(jìn)了以他自己名字命名的伯努利數(shù)。

　　在19世紀(jì)，這些概念與代數(shù)數(shù)論的基礎(chǔ)——模型式聯(lián)系了起來(lái)。這些模形式在傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的整系數(shù)，在數(shù)論當(dāng)中起著重要的作用，它們以重?cái)?shù)的形式出現(xiàn)在對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的闡釋之中。

　　值得慶幸的是，數(shù)論在本世紀(jì)的中國(guó)是主流數(shù)學(xué)，我的妹妹也受此影響，在跟隨巴黎第六大學(xué)的阿蘭·孔涅教授進(jìn)行研究和學(xué)習(xí)之余，也開(kāi)始對(duì)數(shù)論有些興趣。

　　前些日子，我的妹妹夏雯莉給我打電話(huà)的過(guò)程中，表示自己難以理解我在數(shù)論方面的微小成果，于是我決定在為希羽組研究所創(chuàng)收而創(chuàng)作科幻小說(shuō)《黎明之劍》系列的后兩部之余，為她以及和她一樣的無(wú)數(shù)大中學(xué)生以及有足夠的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者編寫(xiě)一本與代數(shù)數(shù)論有關(guān)的書(shū)籍——雖然主攻模糊數(shù)學(xué)及其有關(guān)學(xué)科的我也只是一個(gè)門(mén)外漢，最多算半個(gè)數(shù)論學(xué)家，但我卻覺(jué)得由一個(gè)外行來(lái)寫(xiě)這樣的書(shū)最為合適。

　　雖然我對(duì)代數(shù)數(shù)論沒(méi)有太多了解，但我在完成費(fèi)馬猜想的證明后，確信了代數(shù)數(shù)論最經(jīng)典、最基本的概念、方法和結(jié)論對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是十分重要的，這些內(nèi)容應(yīng)當(dāng)構(gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)系的一門(mén)必修課程。

　　數(shù)學(xué)的概念與方法愈來(lái)愈抽象化與一般化，大概是它本身發(fā)展中不可避免的現(xiàn)象。高觀點(diǎn)、抽象地講述數(shù)學(xué)對(duì)專(zhuān)家來(lái)說(shuō)可能是一件十分方便的事情，但給初學(xué)者帶來(lái)很大的困難，而且對(duì)今后數(shù)學(xué)的發(fā)展可能并不是一件好事。

　　本書(shū)在初等數(shù)論的基礎(chǔ)與觀點(diǎn)之上，以盡可能少的抽象代數(shù)概念與方法，來(lái)具體地介紹代數(shù)數(shù)論中最經(jīng)典、最基本、因而也是最初等的內(nèi)容，所以本書(shū)取名為《初等代數(shù)數(shù)論入門(mén)》。但這些內(nèi)容正是代數(shù)數(shù)論發(fā)展起來(lái)的源泉，限于篇幅，本書(shū)沒(méi)有討論二元二次型的算術(shù)理論，盡管它也是代數(shù)數(shù)論開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的一個(gè)方面。

　　一個(gè)新概念或新方法，只有當(dāng)它能解決已有的概念、方法所不能解決（或解決起來(lái)很復(fù)雜）的問(wèn)題，顯示出它的優(yōu)越性時(shí)，才能證明引進(jìn)它是必要的，并為人們所真正接受。因此，我們應(yīng)該知道從原有的（一般說(shuō)來(lái)是較初等的）概念與方法能得到些什么結(jié)論，和怎樣得到這些結(jié)論的。這也有助于對(duì)新概念與新方法的理解和掌握。此外，我們認(rèn)為計(jì)算是重要的，這不僅對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)是這樣，對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)也是如此。這些也是我寫(xiě)本書(shū)時(shí)所遵循的想法。

　　從本書(shū)的前面五章中，可以看到初等數(shù)論的內(nèi)容是如何推廣到所謂“二次代數(shù)整數(shù)環(huán)”——除有理整數(shù)環(huán)外最簡(jiǎn)單的代數(shù)整數(shù)環(huán)——上去，以及這種推廣是如何有助于解決初等數(shù)論中的一些困難問(wèn)題。學(xué)習(xí)這五章可對(duì)代數(shù)數(shù)論要研究的對(duì)象、基本內(nèi)容有一個(gè)極初步的了解，這些內(nèi)容對(duì)只想稍為知道一些代數(shù)數(shù)論知識(shí)的人，可能是足夠了。

　　此后的三章分別展現(xiàn)了國(guó)內(nèi)外代數(shù)數(shù)論及其有關(guān)學(xué)科的最新進(jìn)展。這三章的內(nèi)容絕對(duì)不只是由我一個(gè)人完成——我在這三章的首頁(yè)列出了有關(guān)同志們的具體貢獻(xiàn)。他們并非是數(shù)論領(lǐng)域的愛(ài)好者，多數(shù)甚至沒(méi)有數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的背景，有些甚至和我一樣沒(méi)有本科學(xué)歷和學(xué)士學(xué)位，但并不耽誤他們憑借自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和不同本領(lǐng)在這些內(nèi)容中做出了直接的貢獻(xiàn)。至于間接貢獻(xiàn)者就更多了，但限于篇幅和實(shí)際貢獻(xiàn)情況，故只列出直接貢獻(xiàn)者的有關(guān)信息。

　　根據(jù)在希羽組內(nèi)部推廣閱讀的反饋，筆者認(rèn)為本書(shū)所需要的預(yù)備知識(shí)是：

　　初等數(shù)論（為方便起見(jiàn)，在第2章中不加證明地列出了它的主要內(nèi)容）、高等代數(shù)中的多項(xiàng)式理論、線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)。僅在極個(gè)別的地方用到了一些微積分。各章配有數(shù)量不等的習(xí)題。

　　包括華羅庚先生在內(nèi)的多位有關(guān)領(lǐng)域的國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家仔細(xì)了解了我們寫(xiě)這本書(shū)的想法和審閱了書(shū)稿（依據(jù)各位國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家的母語(yǔ)，分別交付了中、英、法、日四語(yǔ)中的一個(gè)版本），提出了寶貴的指導(dǎo)意見(jiàn)與許多具體修改意見(jiàn)。按照他們的意見(jiàn)，我逐一作了相應(yīng)的修改、說(shuō)明。對(duì)此我們表示衷心的感謝！此處不多做贅述——在附錄1中對(duì)有關(guān)同志對(duì)本書(shū)的不同支持做出如實(shí)記載，并記載了他們的生平經(jīng)歷及經(jīng)過(guò)希羽組研究所證實(shí)的個(gè)人資料。

　　本書(shū)的寫(xiě)作由我個(gè)人財(cái)產(chǎn)提供經(jīng)濟(jì)上的支持，與創(chuàng)作期間的個(gè)人生活開(kāi)銷(xiāo)一樣，所有出版環(huán)節(jié)產(chǎn)生的費(fèi)用均沒(méi)有接受其他個(gè)人、希羽組研究所及其他機(jī)構(gòu)、組織或國(guó)家的任何經(jīng)濟(jì)上的直接和間接幫助。

　　在各語(yǔ)言版本的出版、發(fā)行的過(guò)程中，我國(guó)的商務(wù)印書(shū)館、美國(guó)的哈佛大學(xué)出版社、法國(guó)的巴黎第六大學(xué)出版社、櫻國(guó)的有斐閣分別對(duì)本書(shū)的中、英、法、日四語(yǔ)版本的出版給予了大力支持。

　　由于我本人的研究范圍十分狹窄，對(duì)代數(shù)數(shù)論也知之甚少，本書(shū)實(shí)質(zhì)上是我在研究費(fèi)馬猜想前后進(jìn)行短期學(xué)習(xí)體會(huì)的一點(diǎn)總結(jié)，缺點(diǎn)、錯(cuò)誤在所難免，請(qǐng)大家指正。

　　夏希羽

　　寫(xiě)于一九八二年六月一日清晨