第六百五十四章 Severi猜想

　　弦論必須是十維的理由十分復(fù)雜，

　　主要的想法大致如下：

　　維度愈大，弦可以振動的方式愈多。

　　但為了制造出宇宙中的所有可能性，

　　弦論不只需要大數(shù)目的可能振動模式，

　　而且這個(gè)數(shù)目還必須是特定的數(shù)，

　　結(jié)果這個(gè)數(shù)只有十維時(shí)空才辦得到。

　　尋找鉆石的時(shí)候，幸運(yùn)的話，你可能附帶找到其他的寶石。我在1977年發(fā)表的一篇兩頁論文里，宣告完成了卡拉比猜想的證明。詳細(xì)的證明則發(fā)表在1978年的73頁論文中，在這篇文章里，我附帶證明了另外五個(gè)相關(guān)的定理。

　　總而言之，這些意外的收獲，其實(shí)源自我思索卡拉比猜想時(shí)的非常境遇：我先是想證明他的猜想是錯(cuò)的，后來又掉頭，試圖證明它是對的。非常幸運(yùn)，我所有努力都沒有白費(fèi)，每一著錯(cuò)步，每條看似不通的死路，后來都被我用上了。我號稱的“反例”（從卡拉比猜想導(dǎo)出的結(jié)論，我想證明它們是錯(cuò)的），因?yàn)榭ɡ炔孪氲某闪?，結(jié)果連帶也是正確的。因此這些失敗的反例，事實(shí)上是正確的典例，很快都成了數(shù)學(xué)定理，其中有些還頗為著名呢。

　　這些定理中最重要的一項(xiàng)，又帶領(lǐng)我們推導(dǎo)出“賽佛利猜想”（Severi conjecture），這是龐加萊猜想的復(fù)數(shù)版本，數(shù)學(xué)家有二十多年無法證明其對或錯(cuò)。

　　其中對小于零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的Severi猜想，復(fù)二維投影空間的復(fù)結(jié)構(gòu)是唯一的，甚至任意維數(shù)復(fù)投影空間的卡勒復(fù)結(jié)構(gòu)也是唯一的。

　　另一個(gè)匪夷所思的推論是，在任意維數(shù)的這類復(fù)流形上，存在一個(gè)奇妙的陳示性數(shù)不等式，而此前代數(shù)幾何學(xué)家卻只能得到復(fù)二維的情形。

　　不過在進(jìn)行這項(xiàng)證明之前，我得先證明一個(gè)關(guān)于復(fù)曲面拓?fù)浞诸惖闹匾坏仁?。我之所以對這個(gè)不等式感興趣，部分原因是聽到哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家曼弗德（David Mumford）的演講，他當(dāng)時(shí)正路過加州。這個(gè)問題是荷蘭雷登大學(xué)的安東尼斯·凡德文（Antonius van de Ven）首先提出的，討論關(guān)于凱勒流形陳式類的不等式，凡德文證明：凱勒流形第二陳氏類的8倍，不小于其第一陳氏類的平方。當(dāng)時(shí)許多人相信將不等式中的8換成3，將會得到更強(qiáng)的不等式，事實(shí)上，大家認(rèn)為3是可能的最佳值。曼弗德問的，就是能不能證明這個(gè)更嚴(yán)格的不等式。

　　這個(gè)問題是1976年9月曼弗德在加州大學(xué)爾灣分校演講時(shí)提出的，當(dāng)時(shí)剛證明卡拉比猜想的我，正好聽了這場演講。他演講到中途，我就相當(dāng)確定曾經(jīng)遇過相同的問題。在演講之后的討論中，我告訴曼弗德自己應(yīng)該可以證明這個(gè)更困難的不等式。當(dāng)天回家后，我檢查做過的計(jì)算，果然不出所料，自己曾經(jīng)在1973年試圖用這個(gè)不等式來否證卡拉比猜想。而現(xiàn)在，我可以倒過來，用卡拉比—丘定理來證明這個(gè)不等式。事實(shí)上我的收獲更豐盛，因?yàn)檫\(yùn)用其中的特殊情況，也就是一個(gè)“等式”——即第二陳氏類的3倍“等于”第一陳氏類的平方——來證明了賽佛利猜想。

　　賽佛利猜想與這個(gè)應(yīng)用范圍更廣的不等式[有些時(shí)候被稱為“波格莫洛夫—宮岡—丘不等式”（Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality），以表彰另兩位數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)]是卡拉比證明最初的主要副產(chǎn)品，此后還有其他應(yīng)用接踵而至。

　　事實(shí)上，卡拉比猜想涵蓋的范圍比我之前提到的更寬廣，其中不只包含黎奇曲率為零的情況，也包括黎奇曲率為正常數(shù)與負(fù)常數(shù)的情形。

　　到目前為止，還沒有人能證明出正常數(shù)條件中最普遍的情況。事實(shí)上，正常數(shù)的情形，卡拉比原先的猜想并不成立，后來我提出一個(gè)新猜想，加上某個(gè)容許正常數(shù)黎奇曲率度規(guī)存在的特殊條件。

　　過去二十年，許多數(shù)學(xué)家（包括多納森）對這個(gè)猜想都有相當(dāng)重要的貢獻(xiàn)，但仍未能完全將它證明。雖然如此，我倒是證明了負(fù)曲率的情況，這是我整體論證的一環(huán)，法國數(shù)學(xué)家奧邦也獨(dú)立證明了這個(gè)部分。

　　負(fù)曲率的解決，則證實(shí)了存在著一類涵蓋更廣的流形，稱為凱勒—愛因斯坦流形（K hler-Einstein manifolds）。這門新建立的幾何學(xué)，后來有出人意料的豐碩研究成果。

　　在思索卡拉比猜想的直接應(yīng)用上，我可說是諸事順?biāo)?，在短期間內(nèi)解決了六七個(gè)問題。

　　事實(shí)上一旦你知道存在某個(gè)度規(guī)，就會順勢得到許多結(jié)果。

　　例如你可以反過來導(dǎo)出流形的拓?fù)湫再|(zhì)，并不需要知道度規(guī)的確切表式。然后，又可以運(yùn)用這些性質(zhì)去指認(rèn)出流形的唯一特色。

　　這就好像你不需要知道星系中眾星體的細(xì)節(jié)，就能辨識星系；或者，不需要知道整副牌的細(xì)節(jié)，就能推理出許多手中牌張的性質(zhì)（牌數(shù)、大小、花色等）。

　　對我來說，這就是數(shù)學(xué)的神奇之處，比起巨細(xì)靡遺的細(xì)節(jié)齊備之后才能做推論，這樣反而更能彰顯數(shù)學(xué)的威力。

　　見到我艱苦的努力終于獲得回報(bào)，或者看著他人繼續(xù)向我沒想到的路徑邁進(jìn)，都讓我覺得心滿意足。但盡管擁有這些好運(yùn)道，還是有個(gè)想法不時(shí)在心頭扯咬著我。在我內(nèi)心深處，我很確定這項(xiàng)研究除了數(shù)學(xué)之外，在物理學(xué)中也一定有其意義，雖然我并不知道究竟為何。就某個(gè)觀點(diǎn)而言，這個(gè)信念其實(shí)十分顯然，因?yàn)樵诳ɡ炔孪胫星蠼獾奈⒎址匠蹋ɡ杵媲蕿榱愕那闆r），基本上就是真空的愛因斯坦方程，對應(yīng)到的是沒有背景能量或宇宙常數(shù)為零的宇宙（目前，一般認(rèn)為宇宙常數(shù)是正值，和推動宇宙擴(kuò)張的暗能量同義）。而卡拉比—丘流形就是愛因斯坦方程的解，就像單位圓是x2+y2=1的解一樣。

　　當(dāng)然，描述卡拉比—丘空間比圓需要更多的方程式，而且方程式本身也復(fù)雜得多，但是基本想法是相同的?？ɡ取鸱匠滩坏珴M足愛因斯坦方程，而且形式格外優(yōu)雅，至少我覺得有令人忘形之美。所以我認(rèn)為它在物理學(xué)中必定占據(jù)著某個(gè)重要位置，只是不知道究竟在哪兒。