第六百四十一章 Minkowski猜想和Bernstein問(wèn)題

　　他先與鄭紹遠(yuǎn)合作，用實(shí)的Monge-Ampere方程解決了著名的閔可夫斯基（Minkowski）猜想和閔可夫斯基時(shí)空中的伯恩斯坦（Bernstein）問(wèn)題，此后再將他自己發(fā)展的梯度估計(jì)技術(shù)發(fā)揮到極致，終于在1975年完全解決了卡拉比猜想。

　　首先，對(duì)于第一陳類小于和等于零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，Kahler-Einstein度量總是存在。

　　但是即使已經(jīng)具備了這些工具，仍然有許多準(zhǔn)備工作要做。

　　第一道難關(guān)，是在此之前，除了復(fù)一維的情形外，還沒(méi)有任何人解過(guò)復(fù)系數(shù)蒙日—安培方程。

　　就像登山者不斷挑戰(zhàn)更高的山岳，我則是向更高維挑戰(zhàn)。為了培養(yǎng)攻克高維蒙日—安培方程的實(shí)力（它們有多么非線性是不消說(shuō)的），我和我的朋友鄭紹遠(yuǎn)開(kāi)始研究某些高維的題目，先從實(shí)數(shù)的情況著手，然后再對(duì)付更難的復(fù)方程。

　　我們首先找上的是閔可夫斯基在19世紀(jì)與20世紀(jì)之交所提出的著名難題。

　　閔可夫斯基問(wèn)題涉及先取一些預(yù)設(shè)信息為條件，然后判定符合這些條件的結(jié)構(gòu)是否存在。

　　以一個(gè)簡(jiǎn)單多面體為例，當(dāng)你檢視這樣的結(jié)構(gòu)時(shí)，可以借由其面數(shù)、邊數(shù)和尺寸來(lái)刻畫(huà)它。

　　而閔可夫斯基問(wèn)題則是反過(guò)來(lái)問(wèn)：如果被告知面的形狀、面積、數(shù)目和方向，你能否判定有沒(méi)有符合這些條件的多面體？若有的話，是否唯一？

　　實(shí)際的閔可夫斯基問(wèn)題的范圍更廣，因?yàn)樗m用于任意的凸面（convex surface），而不只是多面體。

　　其中各面的方向條件，則改用曲面各點(diǎn)的指定曲率來(lái)取代，而這些曲率則是各點(diǎn)的法向量（normal vector）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，這相當(dāng)于描述曲面各點(diǎn)所指的方向。

　　然后你可以問(wèn)，具有上述指定曲率的物體是否存在。

　　將問(wèn)題這樣表述的一大好處，是問(wèn)題不再以純幾何的形式來(lái)呈現(xiàn)，它也可以寫(xiě)成偏微分方程。

　　紐約大學(xué)理工學(xué)院的魯特維克（Erwin Lutwak）解釋說(shuō)：“如果能解出這個(gè)幾何問(wèn)題，附帶還可以得到一項(xiàng)大禮：你同時(shí)也解決了一個(gè)可怕的偏微分方程。

　　幾何和偏微分方程之間的交互關(guān)系，是這個(gè)問(wèn)題如此重要的原因之一?！?p>　　鄭紹遠(yuǎn)和我找到一個(gè)方法來(lái)解這題，我們的論文在1976年發(fā)表。

　　不過(guò)后來(lái)發(fā)現(xiàn)，另一個(gè)獨(dú)立的解答，已在數(shù)年前由俄羅斯數(shù)學(xué)家波戈列洛夫（Aleksei Pogorelov）發(fā)表在1971年的一篇論文里。

　　論文是以俄文撰寫(xiě)的，所以鄭紹遠(yuǎn)和我原先并不知道該篇論文存在。總結(jié)起來(lái)，關(guān)鍵在于解一個(gè)先前無(wú)人解過(guò)的復(fù)非線性偏微分方程。

　　即使先前不曾有人解過(guò)這個(gè)問(wèn)題（波戈列洛夫除外，但是當(dāng)時(shí)我們并不知道他的研究），但是關(guān)于如何處理非線性偏微分方程，卻已有一套明確的既定程序，稱為“連續(xù)法”（continuity method），這是一種采取一連串估計(jì)的方法。

　　方法本身并不新奇，訣竅在于能制定出一套對(duì)于手上問(wèn)題特別有效的策略。

　　連續(xù)法的基本想法是通過(guò)一次次愈來(lái)愈準(zhǔn)確的估計(jì)來(lái)逐漸逼近解答。

　　證明的本質(zhì)在于論證經(jīng)過(guò)足夠多次的迭代之后，這個(gè)過(guò)程可以收斂到一個(gè)良好的解。

　　如果一切順利，最后你得到的，仍然不會(huì)是可以作為解而寫(xiě)下來(lái)的明確算式，而只是證明出該方程的解的確存在。

　　就卡拉比猜想以及與它同性質(zhì)的問(wèn)題而言，證明某一偏微分方程有解，就等于幾何里的存在性證明，說(shuō)明給定某一“拓?fù)洹睏l件，則合乎該條件的特定幾何形體確實(shí)存在。

　　不過(guò)這也并不表示你只證明了有解，卻對(duì)解一無(wú)所知。

　　因?yàn)槟阕C明解存在的方案，可以轉(zhuǎn)化成運(yùn)用電腦計(jì)算來(lái)逼近答案的數(shù)值技巧。