第五百七十章 羅杰·戈德門特自守函數(shù)

　　1890年，克萊因在一般拉梅函數(shù)理論中，提出了自守函數(shù)。

　　是一種亞純函數(shù)，給復(fù)流形的解析變換下的離散群不變，f(γ(x))=f(x)，x屬于M，γ屬于離散群Γ。

　　自守函數(shù)是三角函數(shù)和橢圓函數(shù)的推廣，是數(shù)學(xué)中分析、代數(shù)和幾何理論交叉的產(chǎn)物。

　　出現(xiàn)這樣的結(jié)果，往往是多個(gè)數(shù)學(xué)家的共同研究，共同承認(rèn)結(jié)果。

　　一個(gè)數(shù)學(xué)家，提出一個(gè)新的東西，只有很多同行朝著這個(gè)方向研究，甚至競(jìng)爭(zhēng)，才能在正確和適當(dāng)?shù)臅r(shí)間內(nèi)，被廣泛的承認(rèn)和傳播，數(shù)學(xué)家此刻會(huì)名聲鵲起。

　　而如果一個(gè)數(shù)學(xué)家提出一個(gè)新東西，同行們沒有朝著這個(gè)方向研究，就不會(huì)出名，換句話說，這就是研究的太超前了，超越了當(dāng)時(shí)這個(gè)時(shí)代。

　　自守函數(shù)屬于第一種情況。

　　戈德門特對(duì)吳寶珠說：“分析學(xué)的發(fā)展，你了解多少了？”

　　吳寶珠說：“微積分發(fā)展的時(shí)候開始擴(kuò)展微積分的主要內(nèi)容，其中研究鐘擺和拉桿的問題。遇到了橢圓和雙曲弧長(zhǎng)中的無理函數(shù)積分，成為橢圓積分?！眳菍氈檎f著，寫出了一個(gè)這樣的函數(shù)，是一種積分公式，是橢圓積分近似表示。

　　然后看著公式，繼續(xù)說：“這個(gè)函數(shù)不能用代數(shù)函數(shù)、圓函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。這種無理函數(shù)確實(shí)是個(gè)迷人的問題，同時(shí)也越來越普遍了。還推廣到復(fù)數(shù)域。最后出現(xiàn)了勒讓德稱霸四十年的那個(gè)橢圓函數(shù)。阿貝爾和雅克比發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)反函數(shù)中，有類似三角函數(shù)的性質(zhì)?！?p>　　戈德門特接著說：“對(duì)于微分學(xué)的發(fā)展，你了解多少？”

　　吳寶珠說：“有常微分和偏微分方程。跟物理學(xué)有關(guān)，力學(xué)向電磁學(xué)發(fā)展過來的，最后出現(xiàn)了復(fù)雜的物理運(yùn)動(dòng)，比如風(fēng)帆運(yùn)動(dòng)、薄膜震動(dòng)、行星運(yùn)動(dòng)和弦振動(dòng)。以上有很多二階線性微分方程。解決方法有幾何法、不變量理論方法、群論方法，其中群論方法最成功。其中研究的最重要的是超幾何方程，許多重要方程都是這個(gè)方程的特殊情形。”

　　吳寶珠繼續(xù)開始寫，一邊寫一邊想著說：“它是以1、0和無窮大作為奇點(diǎn)的二階線性常微分方程。歐拉給級(jí)數(shù)解，高斯研究收斂性。然后常微分方程研究進(jìn)入一個(gè)新的歷程，就是奇點(diǎn)理論，一階奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)有特定形式級(jí)數(shù)解。從一階奇點(diǎn)的解推廣到高階奇點(diǎn)的解?！?p>　　吳寶珠繼續(xù)興奮的說：“黎曼找到了亞純函數(shù)的奇點(diǎn)，亞純函數(shù)在復(fù)平面上不是單值”

　　吳寶珠開始一邊畫圖，一邊說：“方程一組基本解系，當(dāng)自變量繞著某個(gè)奇點(diǎn)解析延拓一周后，解系變換到另外一個(gè)單值解析分支中去。這些基本解系之間，存在線性關(guān)系。所有路徑解析開拓得到的相應(yīng)變換集合，被埃爾米特稱之為方程的單值群。富克斯在黎曼基礎(chǔ)上，推進(jìn)超幾何方程研究，研究n階微分方程問題。證明奇點(diǎn)在奇異系數(shù)的地方，激發(fā)大家用系數(shù)研究微分方程?！?p>　　吳寶珠激情說完后，戈德門特說：“代數(shù)學(xué)的研究，你了解多少？”

　　吳寶珠說：“這好像是你擅長(zhǎng)的吧。”

　　戈德門特說：“我的代數(shù)方程的幾何理論，涉及到有限變換群，推廣到無限離散變換群。”

　　吳寶珠說：“你剛剛東拉西扯一堆是？”

　　戈德門特說：“我把分析學(xué)、微分學(xué)和代數(shù)學(xué)三合一，找到了一種自守形式。我的思想幾何化，用幾何學(xué)和群的觀點(diǎn)研究5次以及5次以上代數(shù)方程和線性常微分方程?！?p>　　吳寶珠恍然大悟。

　　戈德門特說：“我成功的從20面體中獲得5次代數(shù)方程完整理論。通過5次方程線性變換關(guān)系，以及斯瓦茲對(duì)三角函數(shù)理論的合作研究，研究橢圓函數(shù)模形式?！?